Question

已知数列{an}的前N项和为sn a1=1an+1=sn+3n+1,求数列{an}的通项公式

Answer 1

解：（一蠢基）由题意可知a(n+1)=sn+3n+1 ①，
则有an=s(n-1)+3n-2 ②
②-①，得 an=Sn-S(n-1)=a(n+1)-an-3，即 a(n+1)=2an+3
两边同时除以2^n+1，得 a(n+1）/2^n+1=2an/2^n+1+3/2^n+1(之后用累加。。)
an/2^n-a(n-1)/2^n-1=3/2^n
........
........
a2/2^2-a1/2=3/2^2

即 an/2^n-a1/2={(3/2^2)/1-1/2*[1-(1/2)^n-1]+1/2}*2^n
所带宴谨以an=2^(n+1) -3

（二）构造祥皮法：
a(n+1)=2an+3
令[a(n+1)+t]=2*(an+t)
a(n+1)+t=2an+2t
a(n+1)=2an+t
即 t=3
所以a（n+1）+3=2*(an+3)
设数列{an+3}是以a1+3为首项，2为公比的等比数列
an+3=(a1+3)*2^n-1
=(1+3)*2^n-1
=2^(n+1) -3
所以an=2^(n+1) -3

Answer 2

解：因为a(n+1)=sn+3n+1
所以an=s(n-1)+3n-2
两式相大悔迹减得：a(n+1)-an=an+3
即滚并a(n+1)=2an+3
a(n+1)+3=2(an+3)
因为前森a1=1，所以a1+3=4
所以an+3=4*2^(n-1)=2^(n+1)
即an=2^(n+1)-3