Question

急求一道数学圆锥曲线题

A(-1,0)B(1,-1),抛物线C：y^2=4x,O为原点，过A的动直线l交抛物线于M,P两点，直线MB交抛物线于Q点。 求证明直线PQ恒过一定点。

Answer 1

设直线AP的方程为：y=k(x+1),MQ的方程为y+1=b(x-1)
将两方程联立可用k,b将M点坐标表示出来
然后将AP方程与抛物线方程联立，可以得出X1+X2的值，然后把P点坐标表示出来
同理将MQ方程与抛物线方程联立，将Q点坐标表示出来
然后知道P,Q两点的值，把它表示出来。化成（）x=()y的形式就知道她过某定点啦

Answer 2

【注：用“参数法”，请慢慢看吧。】证明：（一）∵三点M,P,Q均在抛物线y²=4x上，故可设三点坐标为M(m²,2m),P(p².2p),Q(q²,2q).由三点A,P,M共线，故可得pm=1.再由三点B,M,Q共线，故可得2+2mq+m+q=0.结合pm=1消去m,可得:pq+2(p+q)+1=0.（二）∵点P(p²,2p),Q(q²,2q),故由直线的两点式可得直线PQ的方程:2x-(p+q)y+2pq=0.将前面的pq+2(p+q)+1=0代入，消去pq,可得直线PQ的方程:(p+q)(y+4)=2(x-1).显然，直线PQ过定点(1,-4).证毕。

Answer 3

证明:设直线AP的方程为：y=k(x+1),MQ的方程为y+1=b(x-1)
将两方程联立可用k,b将M点坐标表示出来
然后将AP方程与抛物线方程联立，可以得出X1+X2的值，然后把P点坐标表示出来
同理将MQ方程与抛物线方程联立，将Q点坐标表示出来
然后知道P,Q两点的值，把它表示出来。化成（）x=()y的形式就知道她过某定点啦

ps:因为实在是不好打数学符号，我就把思路大概说下。一定要化个图形结合来理解哦！

Answer 4

x=8
y=16
直线PQ恒过一定点=（-1， 1）

Answer 5

呵呵呵

Answer 6

证明：（一）抛物线y²=4x上的两点(a², 2a)，(b², 2b)与点(u, v)共线，当且仅当
(v-2a)/(u-a²)=(2a-2b)/(a²-b²)（直线的两点式方程）
按a≠b化简可得
ab-v(a+b)/2+u=0 ................................................................(1)
这个公式十分有用，下面要反复用到。
（这个公式叫做双线性方程，你以后学了射影几何就知道它的底细了）
（二）现在，抛物线上的两点P(p², 2p), M(m²,2m)与点A(-1,0)共线，
M(m²,2m), Q(q²,2q)与点B(1,-1)共线，两次应用公式(1)得
mp-1=0...............................................................................(2)
mq+(m+q)/2+1=0................................................................(3)
(2),(3)联立消去m得 pq+2(p+q)+1=0..................................(4)
第3次应用公式(1)，与(4)式比较系数可得直线PQ恒过定点(1, -4).

Answer 7

将两方程联立可用k,b将M点坐标表示出来
然后将AP方程与抛物线方程联立，可以得出X1+X2的值，然后把P点坐标表示出来
同理将MQ方程与抛物线方程联立，将Q点坐标表示出来
然后知道P,Q两点的值，把它表示出来。
pm=1.再由三点B,M,Q共线，故可得2+2mq+m+q=0.结合pm=1消去m,可得:pq+2(p+q)+1=0.

点P(p²,2p),Q(q²,2q),故由直线的两点式可得直线PQ的方程:2x-(p+q)y+2pq=0.将前面的pq+2(p+q)+1=0代入，消去pq,可得直线PQ的方程:(p+q)(y+4)=2(x-1).显然，直线PQ过定点(1,-4).