Question

在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c，的对称轴为x=2，且经过点B（0，4），C（5，9），直线BC与x轴交于

在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c，的对称轴为x=2，且经过点B（0，4），C（5，9），直线BC与x轴交于点A 。

（1）求出直线BC及抛物线解析式。
（2）D（1，y）再抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在两点M,N，且MN=2，点M再点N的上方，使得四边形BDNM的周长最小，若存在，求出M，N两点的坐标，若不存在，请说明理由
（3）现将直线BC绕B点旋转与抛物线相较于另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线BC距离为2倍根号3的点P

Answer 1

设直线方程为y=kx+b
过点BC
则有方程
4=b
9=5k+b
k=1
b=4
方程为y=x+4
抛物线y=ax2+bx+c，的对称轴为x=2，且经过点B（0，4），C（5，9）
所以有方程
-b/2a=2
4=c
9=25a+5b+c
解得
a=1
b=-4
c=4
方程为y=x^2-4x+5
（2）D （1，y）在抛物线上
y=1-4+5=2
D（1,2）
BD=√[1+(2-4)^2]=√5
MN=2，且MN在对称轴上，点M在N上
设N点的坐标为（2，a）M为（2,2+a）
MB＝√[4+(2+a-4)^2]=√[4+(a-2)^2]
ND=√[(1-2)^2+(2-a)^2]=√[1+(2-a)^2]
周长为 √5+2+√[4+(a-2)^2]+]+√[1+(2-a)^2
要想使得周长最小，求取a的值使得√[4+(a-2)^2]+]+√[1+(2-a)^2最小
a=2
周长为√5+2+1+2=5+√5
（3）设点p（m，n）
BP的方程为y=（n-4）/m*x+4
P到BC的距离为2√3，过点p与BC垂直直线的斜率为-1,点p到BC的距离可求为√{[n-(m+n+4)/2]^2+[m-(m+n-4)/2]^2}=√[(1/4)*2(n-m-4)^2]=2√3
有方程
n=m^2-4m+5
√[(1/4)*2(n-m-4)^2]=2√3