Question

已知函数f（x）=1/2cos2x+2asinx-1/2，0≤x2π，a∈R，求函数y=f（x）的最小值

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Answer 1

f(x)= -(sinx-a)^2 +a^2 (没问题吧)
-1=<sinx=< 1
令 t=sinx,则f(x)=g(t)= -(t-a)^2 +a^2,-1=<t=< 1

当 a=<-1时，g(t)在[-1,1]上单调递减，在t=1时有最小值 2a-1;
当 -1<a=<0时，g(t)在[-1,a]上单调递增，在[-1,0]上最小值是g(-1)= -2a-1;
g(t)在[a,1]上单调递减，在[0,1]上最小值是g(1)= 2a-1;
则在[-1,1]上最小值是 g(1)=2a-1 (因为当-1<a=<-0时2a-1=<- 2a-1 )

当 0<a=<1时，g(t)在[-1,a]上单调递增，在[-1,0]上最小值是g(-1)= -2a-1;
g(t)在[a,1]上单调递减，在[0,1]上最小值是g(1)= 2a-1;
则在[-1,1]上最小值是 g(-1)=- 2a-1 (因为当0<a=<1时2a-1>=- 2a-1 )
当 a>=1时，g(t)在[-1,1]上单调递增，在t=-1时有最小值 -2a-1;

综上，当 a 在（负无穷,0]时，f（x）在sinx=1,即 x= pi/2,处有最小值f(pi/2)=g(1)=2a-1
当 a 在（0,正无穷)时，f（x）在sinx=-1,即 x=3pi/2,处有最小值f(3pi/2)=g(-1)=-2a-1

Answer 2

解：
f（x）=1/2cos2x+2asinx-1/2=1/2(1-2(sinx)^2)+2asinx-1/2
=-(sinx)^2+2asinx=-(sinx-a)^2+a^2，令t=sinx∈【-1,1】,f(t)=-(t-a)^2+a^2
a<-1时，在草稿纸上画出二次函数图像，f(x)min=f(-1)=-2a-1;
a>1时，在草稿纸上画出二次函数图像，f(x)min=f(1)= 2a-1;
-1≤a≤1时，在草稿纸上画出二次函数图像，f(x)min=f(a)=a^2