Question

已知函数f（x）=2cos2x+23sinxcosx+a，且当x∈[0，π6]时，f（x）的最小值为2．（1）求a的值，并求f（x）

已知函数f（x）=2cos2x+23sinxcosx+a，且当x∈[0，π6]时，f（x）的最小值为2．（1）求a的值，并求f（x）的单调增区间；（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，再把所得图象向右平移π12个单位，得到函数y=g（x），求方程g（x）=2在区间[0，π2]上的所有根之和．

Answer 1

（1）f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx+a
=cos2x+1+

3

sin2x+a
=2sin（2x+

π

6

）+a+1，
∵x∈[0，

π

6

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

π

2

]，
∴f（x）_min=a+2=2，故a=0，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z），
故f（x）的单调增区间是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z），
（2）g（x）=2sin[4（x-

π

12

）+

π

6

]+1=2sin（4x-

π

6

）+1，
由g（x）=2得sin（4x-

π

6

）=

1

2

，
则4x-

π

6

=2kπ+

π

6

或2kπ+

5π

6

（k∈Z），
解得x=

kπ

2

+

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