Question

x²/36+y²/9=1的弦被点(4,2)平分，则这条弦锁在的直线方程是

Answer 1

设直线方程是 y=kx+b
代入 x²/36+y²/9=1 得 x²+4(kx+b)²=36
x²+4(k²x²+2kbx+b²)=36
x²(1+4k²)+8kbx+4b²-36=0

从而 x1+x2=-8kb/(1+4k²) ①

y1+y2=kx1+b+kx2+b
=k(x1+x2)+2b=-8k²b/(1+4k²)+2b ②
∵ x²/36+y²/9=1的弦被点(4,2)平分
∴ x1+x2=4*2=8 ③ y1+y2=2*2=4 ④
将③代入① -8kb/(1+4k²) =8 ⑤
将②代入④ -8k²b/(1+4k²)+2b=4 ⑥

联合⑤⑥ 得 4=2b+8k -->b=2-4k ⑦
将⑦代入⑤ 得 -8k(2-4k)=8(1+4k²)
-2k+4k²=1+4k²
-2k=1 ∴ k=-1/2

将k=-1/2 代入⑦ 得 b=2-4k=2-4*(-1/2)=2+2=4
∴ 直线方程是 y=-1/2x+4
即 x+2y-8=0