Question

过椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的右焦点F作斜率为1的直线l,交椭圆于A、B两点

过椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的右焦点F作斜率为1的直线l,交椭圆于A、B两点，M为线段AB的中点，射线OM交椭圆于点C，若向量OA+向量OB=向量OC（O为原点）求椭圆的离心率。

Answer 1

设A(x1,y1)，B(x2,y2),C(x0,y0)
直线l的方程为y=x-c 与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1联立整理得
（a^2+b^2）x^2-2a^2cx+a^2*c^2-a^2*b^2=0
x1+x2=2a^2c/( a^2+b^2)
向量OA+向量OB=向量OC
X0=x1+x2,y0=y1+y2=x1-c+x2-c=(x1+x2)-2c=-2b^2c/( a^2+b^2)
点C在椭圆上，将点C的坐标代入椭圆方程。
整理得到5e^4-12e^2+4=0,e^2=2/5 或e^2=2
0<e<1, e^2=2舍去。所以e^2=2/5