Question

高数极限定义里面的疑惑，想请教大家~~

高数里面，极限的定义是这样的：设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义。如果对任意给定的正数E（不论它多么小），总存在着正数X，使得对于满足不等式|x|>X的一切x，总有 |f（x）—A|<E，则称常数A为函数f(x)当x——>∞时的极限。
我想问一下定义里面的“总存在着正数X”的“正数X”是什么意思？就是说，我应该怎样理解这个“正数X”在定义里面的涵义呢？希望各位师兄师姐老师们解答我这个弱弱的疑惑呐~~谢谢大家！！

Answer 1

推荐的答案解释得不清不楚，分类管理员也是胡乱推荐。

本题的解答如下：
1、对于任意给定的一个正数ε，在理论上，可以计算出一个X，从这个X起，任何比X大的x，
带入f(x)后，其值与A之差，就小于ε，也就是|f(x) - A| < ε。
2、由于ε是任意的，不管ε有多小，只要你给得出来，我们就能算出一个对应的X，同样地，
只要x比X大，就有 |f(x) - A| < ε 成立。
3、由于ε只是理论上的一个可以要多小有多小的数，找到X后，|f(x) - A| < ε 的意义便成了
f(x) 可以无限趋近于A，也就是说A是f(x)的极限。
4、一般的教师、书籍上的解释，给人的错觉，好像只有一个X，其实完全不是这么回事。
因为一般的证明中，常常采取放大、缩小的方法，这样得出的X不计其数，也许有的X正
好是分界线，比X大的x，才能满足 |f(x) - A|<ε；有的X本身已经满足 |f(X) - A|<ε，
当x>X，就能更好地满足这个不等式，也就是极限成立。

如有不懂，请Hi我。

Answer 2

X就是任意一个正数，这样定义是为了理性说明x趋近程度和f（x）与极限趋近程度的关系，用这种不等式能更清楚反映关系，能解一些靠定义做的题。

Answer 3

由图象理解下，x趋进无穷大时，f(x)存在则极限存在，这个限制条件用数学语言描述下，就是|x|>X的一切x。