Question

二次函数题

如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4，矩形ABCD的边BC在线段OM上，点AD在抛物线上。设矩形ABCD的周长为L，求L的最大值。

Answer 1

由题意可知P点坐标为（2，4）
可设该抛物线解析式为y=ax(x-4)
把P(2,4)代入得
a=-1
即y=-x(x-4)
设C点(x,0) (2＞x＞0）
则BC=4-2X
CD=-X(X-4)
所以矩形ABCD的周长为L=2[4-2x-x（x-4)]=-2x²+4x+8=-2(x-1)²+10
即x=1时，L最大值=10

Answer 2

解： y=-(x-2)^2+4
(oc+ob)/2=2(对称性）
oc=4-ob
ob-oc=2ob-4
令ob为x
L=2y+2(2x-4)
L=-2(x-3)^2+6
所以L的最大值为6

Answer 3

解：根据题意
OM=4所以点P的横坐标是4/2=2
那么设抛物线方程为y=a（x-2）²+4
将M（4，0）代入
4a+4=0
a=-1
则y=-（x-2）²+4=-x²+4x
设点A的坐标为（a，-a²+4a）
BC=2（a-2）=2a-4
AB=-a²+4a
所以L=2×（-a²+4a+2a-4）=2（-a²+6a-4）=-2（a²-6a）-8=-2（a-3）²+10
此时L为二次函数，当a=3的时候（符合题意，因为0<a<4)L有最大值=10