Question

函数y=lg(3-4x+x^2)的定义域为M，x∈M时，函数f(x)+4^x-2^(x+1）（x∈M) (1)求函数f(x)的值域

（2）当（x∈M)时，关于x的方程4^x-2^(x+1）=b（∈R)有实数根，求b的取值范围，并讨论实数根的个数

Answer 1

解：
（1）根据题意
3-4x+x^2>0
(x-3)(x-1)>0
x>3 或 x<1
设t=2^x t>8 或 0<t<2
那么f(t)=t^2-2t=(t-1)^2-1
f(x)属于(-1,0)并上(48,正无穷）
（2）设y=b
那么题目就转换成讨论抛物线与直线的交点个数
在（1）中已求出f(t)的定义域，这里画个图会比较直观。（先画出抛物线，然后画一条平行于x轴的直线在抛物线上上下平移）
b>=-1
当b=-1时，有一个实数根
当-1<b<2时，有两个实数根
当2<b<8时，有一个实数根
当b>8时，有两个实数根。

Answer 2

M: x<1 或 x>3 f(x)=4^x-2^(x+1）=(2^x)^2-2*2^x 0<2^x<2或 2^x>8
f(x)的值域 -1<f(x)<0 或f(x）>48