Question

有关三角函数值域问题

函数f(x)=sinx/√(5+4cosx) (0≤x≤2∏)的值域是？ 答案是【-1/2，1/2】
需要过程，谢谢！

Answer 1

我们令 y=sinx/√(5+4cosx) ，那么有 y^2=(sinx)^2/(5+4cosx) =[1-(cosx)^2]/(5+4cosx)，
整理可得：(cosx)^2+4(y^2)cosx+5y^2-1=0 ，显然这是一个关于变量 cosx 的一元二次方程。由题意，x∈[0，2π]，即说明上面的一元二次方程有解 cosx 存在。再由解存在的判别定理得：
Δ=b^2－4ac=16y^4－4(5y^2－1)≥0 ，化简得：4y^4－5y^2+1≥0 ，解不等式得：
0≤y^2≤1/4 ，或 y^2≥1 。
因为1≤5+4cosx≤9 ，而0≤(sinx)^2≤1 ，并且 5+4cosx 和 (sinx)^2 不能同时等于1(为什么?自己想一想)，所以应该舍去 y^2≥1 的情况。
再由 0≤y^2≤1/4 进一步化简为： -1/2≤y≤1/2 ，所以 f(x)=sinx/√(5+4cosx) (0≤x≤2∏)的值域一定包含于[-1/2，1/2]之内。【请注意！！这里并没有说函数的值域就是[-1/2，1/2] ，而是说包含于[-1/2，1/2] ，为什么？请从逻辑推理的角度想一想，这里的推理并不能保证函数的值域等于 [-1/2，1/2] ，推理只是告诉我们函数的取值不会超过 区间[-1/2，1/2] 。】

下面证明函数的值域就是区间 [-1/2，1/2] 。
证明：
假设 Y 是区间 [-1/2，1/2] 中的任意一个数值， 则方程 Z^2+4(Y^2)Z+5Y^2-1=0 有解，其中的一个解为 Z= -2Y^2+√(4Y^4－5Y^2+1) 。 再由 -1/2≤y≤1/2 ，可以得到：
0≤√(4Y^4－5Y^2+1)≤1 且 -1/2≤-2Y^2≤0 ，所以
-1/2≤-2Y^2+√(4Y^4－5Y^2+1) ≤1 ，即-1/2≤Z≤1 。这说明存在满足0≤x≤2∏的实数 x ，使得 Z=cosx 。进而说明对于区间 [-1/2，1/2] 中的任意一个数值Y ，存在 cosx （0≤x≤2∏) ，使得 Y=sinx/√(5+4cosx) 。所以有结论：区间 [-1/2，1/2]中的任何一个数都是函数f(x)=sinx/√(5+4cosx) (0≤x≤2∏)值域中的值。 结合前面的讨论【即 f(x)=sinx/√(5+4cosx) (0≤x≤2∏)的值域一定包含于[-1/2，1/2]之内】可以知道，函数的值域就是区间 [-1/2，1/2] 。

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备注：本题若是选择题，可以不用考虑后面的证明，虽然那样不严谨，但一般不会有错，考试嘛，不会考得太复杂。本题若是计算题，那后面的证明绝对不可少！！！