Question

一条初中奥数难题

14．已知 a、b、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程ax^2+bx+c=0 ，bx^2+cx+a=0,cx^2+ax+b=0恰有一个公共实数根，则(a*a)/(bc)+(b*b)/(ac)+(c*c)/(ab) 的值为（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

Answer 1

ax^2+bx+c=0 ，
bx^2+cx+a=0,
cx^2+ax+b=0
三式相加
(a+b+c)x^2+(a+b+c)x+(a+b+c)=0
(a+b+c)(x^2+x+1)=0
因为x^2+x+1=(x+1/2)^2+3/4>0
所以a+b+c=0

解法一：
所以a^2/bc+b^2/ca+c^2/ab
=(a^3+b^3+c^3)/abc
=[a(b+c)^2+b(a+c)^2+c(a+b)^2]/abc
=(ab^2+ac^2+ba^2+bc^2+ca^2+cb^2+6abc)/abc
=(ab^2+ac^2+ba^2+bc^2+ca^2+cb^2)/abc+6
=b/c+c/b+a/c+c/a+a/b+b/a +6
=1/b(a+c)+1/c(a+b)+1/a(b+c) +6
=-b/b-c/c-a/a +6
=3
解法二
因为a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)
所以a^2/bc + b^2/ac +c^2/ab
=(a^3+b^3+c^3-3abc)/abc+3
=3
故选D

Answer 2

上楼厉害

Answer 3

若三个方程恰有已实数根，则x=1,a+b+c=0, 原式=[（a³+b³)-(a+b)³]/abc=-3(a+b)/c=3
选D

Answer 4

也不算难只要想久点就能成功所以靠的是毅力.不过在真正的奥数里这还只是牛刀小试