Question

f(x)=xlnx，求函数f(x)的单调区间和最小值

当 b>0,求证b^b =(1/e)^(1/e)
求证b^b> =(1/e)^(1/e)

Answer 1

（1）f(x)导数为lnx+1,由它大于0得增区间为x>1/e;
小于0得减区间为0<x<1/e;
min=f(1/e)=-1/e.
（2）由（1）知x=1/e时f(x)取最小值ln[(1/e)^(1/e)],故b>0时有ln[b^b]>ln[(1/e)^(1/e)]；
又因为lnx为增，故b^b> =(1/e)^(1/e)，得证。

Answer 2

1，解：f(x)=xlnx的定义域为（0，+无穷），
由f(x)=xlnx， 则：
f'(x)=x'lnx+x(lnx)'=lnx+x*(1/x)=lnx+1。
令 f'(x)=0，即：lnx+1=0，
lnx=-1， x=1/e。
当x属于（0，1/e）时，f‘(x)=lnx+1<0，
所以 f(x)在区间（0，1/e）递减；
当x属于[1/e，+无穷）时，f‘(x)=lnx+1 >0，
所以f(x)在区间[1/e，+无穷）递增。
所以当x=1/e时，函数f(x)有最小值 -1/e。
2，

Answer 3

f'(x)=lnx+1
当0<x<1/e时，f'(x)<0,所以f(x)在(0,1/e)上单减
当x>1/e时,f‘(x)>0，所以f(x)在(1/e,+∞)单增
所以，当 x=1/e时，取得最小值f(1/e)=-1/e

考查函数g(x)=x^x (x>0)
显然 g(x)=e^(xlnx),而xlnx由上面结论在x=1/e处取最小值，所以g(x)在x=1/e处也取最小值
g(1/e)=(1/e)^(1/e)

Answer 4

f'(x)=lnx+1
令f'(x)=0
lnx+1=0
lnx=-1
x=1/e
列表(x>0)
(0,1/e) 1/e (1/e,+∞)
y' - 0 +
y 减 极小 增
极小值为f(1/e)=(1/e)ln(1/e)
=-1/e
同时为最小值

那个。。求证b^b> =(1/e)^(1/e)
这个没法证，原题是什么

Answer 5

你们有学过导数吗，求导就好解题如下
(1)f'=lnx+1
令f'=0
解得 x=1/e
即 当x<1/e时，f'<0 单调递减
当x>1/e时 f'>0 单调递增
故 当x=1/e时，有最小值f(x)=-1/e
(2)先构造一个函数y=x^x
两边取对数得 lny=xlnx
两边求导 y'/y=lnx+1 得y'=x^x(lnx+1)
令y'=0 又x>0 故lnx+1=0
解得x=1/e
之后的解题步骤同（1）

Answer 6

求导，f‘=lnx+1。f'=0,x=e. 当(0,e),f'<0,递减。x=e，最小。x在（e，无穷），递增。最小值就是f=e。
设g(x)=x^x (x>0)
g(x)=e^(xlnx),因为x=1/e处取最小值，所以g(x)在x=1/e处也取最小值
g(1/e)=(1/e)^(1/e)