Question

一道高等数学用极限求导数的问题

我想问 1 右端是零的话 也能使用因为分母是x^2趋于0 则sin3x/x+f(x)在x=0时也趋于零么？为什么 只要右端是A就可以么？？
2 为什么不能因为{sin3x+f(x)x}/x^3 在x趋于0时满足罗比大法则而直接应用 用求导的方法 直接得到各阶导数在0点的值？？

Answer 1

sin3x~3x，所以原式可写为lim[3+f(x)]/x^2,又x趋向于0时原式为0，可知f(0)=-3,因为若f(0)不为-3，则lim[3+f(x)]/x^2趋向于正或负无穷大，所以f(0)=-3。
所以lim[3+f(x)]/x^2=lim[f(x)-f(0)]/x^2,当x趋向于0时，即limf'(0)/x=0(根据导数的定义可得),则f'(0)=0
lim[3+f(x)]/x^2=0中因为已知f(0)=-3,所以x趋近于0时分子分母趋近于0，可用罗比达法则，使用后分子分母仍趋近于0，再次使用，可得f''(0)=0
最后所求的极限就是原式的变形，就是0
关于你的问题：
1首先分母是趋向于0的，如果分子除以分母趋向于0，那么分子是比分母高阶的无穷小，必趋向于0，如果分子除以分母趋向于常数，那么便是同阶的无穷小，分子和分母一样依然趋向于无穷小
2这个时候你不能判定分子是否趋向于0，所以不满足罗比达法则的要求

Answer 2

先回答你的第二个问题，按你的办法运用诺比达法则，你算到第二步是什么结果你知道吗？会出现分子是否趋近于0无法得知，就无法继续使用诺比达法则。
我不确定你的第一个问题具体问的是什么，我猜到大概是无穷小与无穷小的关系方面的定义，同阶无穷小的定义就是，两个不为0的无穷小的比值为一个常数；如果说比值为0那么分子即为分母的高阶无穷小。

Answer 3

不会 ，同学不要钻、、、、