Question

高二一道数学题

若P点在抛物线（Y平方）=2X上A（a,0)
（1）请你完成下表
（2）若a属于R，求PA绝对值的最小值及相应的点P坐标

Answer 1

以A为圆心的圆(x-a)^2+y^2=R^2与抛物线y^2=2x相交，R能达到的最小值即为AP的最小绝对值
联立：x^2+(2-2a)x+a^2-R^2=0 y^2=2x>=0
方程需要存在非负解，需要满足条件
1 (a-1)^2>=a^2-R^2 且 a^2-R^2<=0 （方程有一非负解一负解）
或者 2 (a-1)^2>=a^2-R^2 且 2-2a<=0 （方程对称轴为正）
1可整理为 R^2>=a^2 （原因是a^2总是大于等于2a-1）
2可整理为a>=1 且 R^2>=2a-1
因此，在a>=1时R的最小值为 根号（2a-1） 此时P点坐标为(a-1, 正负根号(2a-2))
a<1时R的最小值为 绝对值（a） 此时P点坐标为(0,0)
这即是第二问的解
由此带入a可得第一问的解，依次为：
2 (0,0)
0 (0,0)
0.5 (0,0)
1 (0,0)
根号(3) (1, 根号(2))