Question

已知函数f(x)=-x^3+ax^2+b 若函数F(x)zai qujian [X1,X2]上的平均变化率小于1 求证 -根号3<a<根号3

Answer 1

求导,f(x)的导数为-3X^2+2aX
任意不同的两点间连线斜率都小于1即导数恒小于1
即为3X^2-2aX+1>0恒成立
则只需判别式=4a^2-12<0即可
即a^2<3,则-根号3<=a<=+根号3

Answer 2

f'(x)=-3x^2+2ax∵函数y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率小于1∴f'(x)=-3x^2+2ax＜1恒成立即3x^2-2ax+1>0恒成立∴Δ=4a^2-12<0 即-√3<a<√3

Answer 3

见图