Question

证明函数f(x)=-2x^2在(负无穷大,0)上是增函数在(0,正无穷大)上市减函数

Answer 1

设x1、x2是区间(负无穷大,0)上的任意两个值，且x1<x2，
则：f(x1)-f(x2)=-2(x1)^2-[-2(x2)^2]=-2(x1-x2)*(x1+x2)，
因为：x1、x2是区间(负无穷大,0)上的任意两个值，且x1<x2，
所以：x1-x2<0，x1+x2<0，所以：-2(x1-x2)*(x1+x2)<0,
即：f(x1)-f(x2)<0,所以：f(x1)<f(x2)，
故：函数f(x)=-2x^2在(负无穷大,0)上是增函数在(0,正无穷大)上市增函数

Answer 2

令x1<x2<0
f(x1)-f(x2)
=-2x1²+2x2²
=2(x2+x1)(x2-x1)
因为x1<x2<0
所以x2+x1<0
x2-x1>0
所以f(x1)-f(x2)<0
即x1<x2<0时f(x1)<f(x2)
所以x<0是增函数

同理
x1>x2>0
f(x1)-f(x2)
=-2x1²+2x2²
=2(x2+x1)(x2-x1)<0
则x1>x2>0,f(x1)<f(x2)
所以x>0是减函数

Answer 3

学过导数吗？
因为f(x)=-2x^
所以f'(x)=-4x
使f'(x)=0则x=0
当x＞0时f'(x)＜0 所以函数在(0,∞）单调递减
当x＜0 f(x)＞0所以f(x)在-∞,0单调递增