Question

已知函数f (x)=(x+2)ln(x+1)-ax^2-x(a∈R),g(x)=ln(x+1)

已知函数f (x)=(x+2)ln(x+1)-ax^2-x(a∈R),g(x)=ln(x+1)。
（Ⅰ）若a=0,F(x)=f(x)-g(x),求函数F（x）的极值点及相应的极值；
（Ⅱ）若对于任意x2＞0,存在x1,满足x1＜x2且g（x1）=f(x2)成立，求a的取值范围。

Answer 1

(II)g(x)是增函数，由x1<x2得g(x2)>g(x1)=f(x2),
于是g(x)-f(x)=ln(x+1)-[(x+2)ln(x+1)-ax^2-x]
=ax^2+x-(x+1)ln(x+1)>0,x>0,
<==>a>[(x+1)ln(x+1)-x]/x^2，记为h(x),x>0,
h'(x)=[ln(x+1)+1-1]/x^2-2[(x+1)ln(x+1)-x]/x^3
=[xln(x+1)-(2x+2)ln(x+1)+2x]/x^3
=[2x-(x+2)ln(x+1)]/x^3,
设I(x)=2x-(x+2)ln(x+1),x>0,则
I'(x)=2-ln(x+1)-(x+2)/(x+1)=1-1/(x+1)-ln(x+1),
I''(x)=1/(x+1)^2-1/(x+1)=-x/(x+1)^2<0,
∴I'(x)是减函数，
∴I'(x)<I'(0)=0,
∴I(x)是减函数，I(x)<I(0)=0,
∴h'(x)<0,h(x)是减函数，h(x)<h(0+)→ln(x+1)/(2x)→1/[2(x+1)]→1/2，
∴a>=1/2,为所求.

Answer 2