Question

如图所示,在三角形ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE垂直于AB,DF垂直于AC　若把D改为在

若把D改为D在BC的延长线上，其余条件不变，上面结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，DE、DF、MB的关系又怎样？并给出证明

Answer 1

因为DE垂直AB，DF垂直AC, 所以 等于90度 因为D是BC的中点 所以BD等于DC 在三角形EBD和三角形FDC中 BD等于DC 角BED等于角DFC BE=CF 所以三角形EBD全等于三角形FDC 所以ED=DF 所以AD是三角形ABC的角平分线。
1)∵△ABC是等边三角形∴AB=AC=BC又∵D、E、F是三边的中点 ∴DE、DF、EF为△ABC的中位线∴DE=DF=EF，∴∠FDE=∠DFE＝60°∵△DMN是等边三角形∴∠MDN＝60°，DM=DN∴∠FDE＋∠NDF=∠MDN ∠NDF ∴∠MDF=∠NDE 在△DMF和△DNE中，DF=DE，∠MDF=∠NDE，DM=DN∴△DMF≌△DNE∴MF=NE 设EN与BC交点为P，连结NF由△ABC是等边三角形且D、F分别是AB、BC的中点可得△DBF是等边三角形∴∠MDN=∠BDF＝60°∴∠MDN－∠BDN=∠BDF－∠BDN即∠MDB=∠NDF在△DMB和△DNF中，DM=DN，∠MDB=∠NDF，DB=DF∴△DMB≌△DNF∴∠DBM=∠DFN∵∠ABC=60°∴∠DBM=120°∴∠NFD=120°∴∠NFD ∠DFE=120° 60°=180°∴N、F、E三点共线∴F与P重合∴F在直线NE上 (2)成立∵△ABC是等边三角形∴AB=AC=BC又∵D，E，F是三边的中点∴DE，DF，EF为△ABC的中位线∴DE=DF=EF，∠FDE=60°又∠MDF ∠FDN=60°∠NDE ∠FDN=60°∴∠MDF=∠NDE在△DMF和△DNE中，DF=DE,∠MDF=∠NDE，DM=DN∴△DMF≌△DNE∴MF=NE （3）MF=NE仍成立
BE=CF BD=DC ∠BED=∠DFC 证明了三角形BDE全等三角形DFC 因此 三角形EDA全等三角形FDA ∠EDA=∠FDA 所以AD是三角形ABC的角平分线

Answer 2

如图所示,△ABC中,D是BC边的中心,△ACD的面积=12,求△ABC的面积