Question

二维随机变量已知（X,Y）的联合密度函数为p（x，y）=y*e^(-x)*e(-y),x>0,y>0.求概率P（Y>X)

这道题怎么做我知道，可是积分求不出来，望高手指点，谢谢

Answer 1

∫(0~无穷)∫(0~y)p(x,y) dx dy
=∫(0~无穷)ye^(-y)(1-e^(-y) )dy
=∫(0~无穷)ye^(-y)-ye^(-2y) dy
=Γ(2)-Γ(2)/4
=3/4

简便算法

∫(0~无穷)t^(n-1)e^(-t) =Γ(n)=(n-1)!

te^(-t)
用分部积分
∫te^(-t)-e^(-t)+e^(-t) dt

= -te^(-t)-e^(-t)
=-(t+1)e^(-t)再代入

2y那个可以变

{2ye^(-2y)}/2

{-(2y+1)e^(-2y)}/2

Answer 2

把二重积分贴出来

追问

∫0→∞∫0→y y*e^-(x+y) dxdy=3/4