Question

设函数fx和gx是定义在集合D上的函数,若任意x∈D,f(g(x))=g(f(x)),则称函数fx和gx在集合D上具有性质P(D)

若函数fx=2x和gx=cosx+0.5在集合D上具有性质P(D),求集合D

Answer 1

由 2(cosx+1/2)=cos(2x)+1/2 得 2cosx+1=2(cosx)^2-1+1/2 ，
因此 4(cosx)^2-4cosx-3=0 ，
所以 (2cosx-3)(2cosx+1)=0 ，
解得 cosx=3/2(舍去) 或 cosx= -1/2 ，
则 x=(2k+1)π±π/3 ，
所以集合 D=｛x | x=(2k+1)π±π/3，k∈Z｝。