Question

设函数f（x）和g（x）是定义在集合D上的函数，若?x∈D，f（g（x））=g（f（x）），则称函数f（x）和g（x

设函数f（x）和g（x）是定义在集合D上的函数，若?x∈D，f（g（x））=g（f（x）），则称函数f（x）和g（x）在集合D上具有性质P（D）．（1）若函数f（x）=2x和g（x）=cosx+12在集合D上具有性质P（D），求集合D；（2）若函数f（x）=2x+m和g（x）=-x+2在集合D上具有性质P（D），求m的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=2x，g（x）=cosx+

1

2

，
∴由f（g（x））=g（f（x））得：2(cosx+

1

2

)=cos2x+

1

2

，
化为4cos²x-4cosx-3=0，
∵cosx∈[-1，1]，
解得cosx＝?

1

2

，
∴x＝2kπ±

2π

3

(k∈Z)．
∴D={x|x=2kπ±

2

3

π，k∈Z}．
（2）∵f（x）=2^x+m，g（x）=-x+2，
∴由f（g（x））=g（f（x）），
得2^-x+2+m=-（2^x+m）+2，
变形得：2?2m＝2x+

4

2x

，
∵D≠?，且2x+

4

2x

≥4，
∴2-2m≥4，∴m≤-1，
即m的取值范围为（-∞，-1]．