Question

奥数同余的问题

1的一次方+2的2次方+3的3次方+-----+9的9次方除以3的余数是多少？

Answer 1

原式中369三项除以3的余数是0，可以不用考虑。
1+2^2+4^4+5^5+7^7+8^8
= 1 + (3-1)^2 + (3+1)^4 + (6-1)^5 + (6+1)^7 + (9-1)^8
上式后五项展开后，略去含有因子3的项后，得
==>> 1 + 1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 4
最后除以3的余数是1

Answer 2

注意到，当a为3的倍数时，a^n 除以3的余数为 0
当a不为3的倍数时，a^2 除以3的余数为 1.
以下提出一个简记符号：
a == b mod m　或
a mod m ==b，表示
a除以m的余数 与 b除以m的余数相当，
或者说，对于除数m求余数而言，a与b相当。
于是 a为3的倍数时，a^n ==0 mod 3
a不是3的倍数时, a^(2n)==1 , a^(2n+1)==a

1 mod 3 = 1
2^2 mod 3 = 1
3^3 mod 3 = 0
4^4 mod 3 = 1
5^5 mod 3 ==5==2
6^6 mod 3 ==0
7^7 mod 3==7==1
8^8 mod 3 ==1
9^9 mod 3 ==0
于是1+2^2+3^3+...+9^9==1+1+0+1+2+0+1+1+0==7==1 mod 3
即所求余数为1

Answer 3

答案为：余数为1

Answer 4

答案为：余数为2

Answer 5

余数不会是3吧