Question

奥数题（同余的概念及性质）

Answer 1

奥数题（同余的概念及性质）
以下用==指同余号，gcd()有时省作().
解答力求简洁，其中应用了同余的可乘性与可加性。
1、
270除以自然数n的余数是15,186除以自然数n余数是16，那么自然数n应该是多少？
解：n>16
270-15==186-16==0
mod
n
故n|(270-15,186-16)=(255,170)=85
故n=17或85.
2、
999+2×999+3×999+……+999x999
除以13所得的余数是多少？
解：所求==999*(1+2+...+999)
mod
13
==999*999*500==-2*-2*500=-2*-1000==-2*1==11
所求=11.
注：7*11*13=1001,需熟记和应用。
3、
有三个吉利数168/518/666，用它们分别除以同一个自然数，168余（a+5），518余（a+7），666余（a+10），求这个自然数
解：题意即a==168-5==518-7==666-10
mod
m,求m
163==511==656
mod
m
163-511==511-656==0
mod
m
m|(348,145)=(145,58)=29,易得m=29
4、
如果2005和1783除以某一个自然数n时，他们的余数分别是3和2，那么n是多少？
解：2005-3==1783-2==0
mod
n
故n|(2002,1781)=(2*7*11*13,221)=13,易得n=13
5、
今天是星期五，再过
365的365次方
天是星期几？
解：t=5
mod
7
365^365
mod
7
==1^365==1
故t+365^365==6
mod
7.
故答案为星期六。
6、
203×203×203×203×……×203（2005个203）颗子弹装入盒子，每盒装6颗，最后余下多少？
解：203^2005
mod
6==(-1)^2005==-1==5
故余下5颗。

Answer 2

1：255÷n和170÷n应该都是整数，所以n=17或85.
2：余数每13个一循环分别为11，9，7，5，3，1，12，10，8，6，4，2，0
所以加起来是78，一共有77个循环少两个。所以和是78×77-2=6004，除以
13余数是11。
3：除的数大于等于12否则不可能余数是10+a，且这个数必是奇数。且易知能被
518-168-2除尽，被145除尽，被493除尽。所以答案是29.
4：被2005-1783-1除尽所以知n=13
5：（7×52+1）的7×52+1次方=（A+1）×(A+1)×（A+1）×……展开后有A
的地方都能被7除尽，所以除以7余下1.是星期六。
6：同理可知原式=（A+5）×(A+5)×（A+5）×……同余5的2005次方同余
（-1）的2005次方，所以余数是5，剩余5颗。
1

Answer 3

第1题：270-15=255，186-16=170，255与170的最大公约数是85，所以自然数就是85。

Answer 4

用数学语言表达如下：
1.
由已知得
270-15≡186-16≡0
(mod
n)
即255≡170≡0
(mod
n)
3×5×17≡2×5×17≡0
(mod
n)
故n是255和170的公约数，可能是17或85
2.999+2×999+3×999+……+999x999
=999×(1+2+...+999)
=999×999×500
根据同余的可乘性知
若a≡b（mod
m），c≡d（mod
m），那么ac≡bd（mod
m）
999≡11
(mod
13)
500≡6
(mod
13)
故999×999×500≡11×11×6=11×66=11×1=11(mod
13)
余数是11
3.
设这个自然数为n，则
168-5≡518-7≡666-10≡a
(mod
n)
163≡511≡656≡a
(mod
n)
故511-163≡656-163≡656-511≡0
(mod
n)
即348≡493≡145≡0
(mod
n)
12×29≡17×29≡5×29≡0
(mod
n)
故n是348，493，145的公约数，n=29
4.
2005-3≡1783-2≡0
(mod
n)
即2002≡1781≡0
(mod
n)
13×154≡13×137≡0
(mod
n)
,(154，137)=1
），（记号（154，137）表示154与137的最大公约数）
故n是2002，1781的公约数，n=13
5.
因为365≡1
(mod
7)
所以由同余的可乘性，若a≡b（mod
m），c≡d（mod
m），那么ac≡bd（mod
m）知
365^365≡1^365
≡1(mod
7)
是星期六
6.
因为203≡5(mod
6)
所以由同余的可乘性知
203×203×203×203×……×203≡5×5×...×5≡5×25×25×...×25≡5×1×1×...×1≡5
(mod
6)
最后余下5颗