Question

求助 对称区间上 奇偶函数的定积分

请证明一下这两个等式 是怎么得到的 谢谢

Answer 1

∫(-a-->a)f(x)dx=∫(-a-->0)f(x)dx+∫(0-->a)f(x)dx
对于前面一积分，我们令t=-x 那么它就等于∫(a-->0)f(-t)d(-t)=∫(0-->a)f(-x)dx
所以原积分＝∫(0-->a)f(x)+f(-x)dx
再根据奇偶性，就得到上面的式子了

Answer 2

∫(-a,a) f(x)dx
=∫(0,a) f(x)dx+∫(-a,0) f(x)dx
当f(x)为偶函数
f(x)=f(-x)
∫(0,a) f(x)dx=∫(-a,0) f(x)dx
当f(x)为奇函数
f(-x)=-f(x)
∫(0,a) f(x)dx=-∫(-a,0) f(x)dx