Question

已知抛物线y=ax^2+bx+c经过点A(-3,0)，B(1,0)，C(0，-3)。

（1）求抛物线的解析式 （2）若点P为第三象限内抛物上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标 （3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？请写出M的坐标。详细步骤

Answer 1

(1) 设抛物线解析式为 y=a(x-1)(x+3), C(0,-3)在抛物线上，则 a=1， y=x^2+2x-3.
(2) P(p,p^2+2p-3) 是第三象限内抛物上一点, 则 p<0, p^2+2p-3<0, 联立解得 -3<p<0.
AC=3√3为常数, AC方程为 x+y+3=0，P(p,p^2+2p-3)到AC的距离
h=|p+p^2+2p-3+3|/√2=|p^2+3p|/√2=|(p+3/2)^2-9/4|/√2≤9√2/8,
则 S<△PAC>≤(1/2)(3√3)(9√2/8)=27√6/16,
即△PAC的最大面积是27√6/16，此时 P(-3/2,-15/4)。
(3) 定义E点有何用途？
y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4, 则顶点 D(-1, 4), 设 y轴上点 M(0, m),
AD^2=20, AM^2=9+m^2, DM^2=m^2+8m+17
△ADM是直角三角形, 有三种情况：
① AD是斜边，20=9+m^2+m^2+8m+17, 解得 m=-1 或 m=-3;
② AM是斜边，9+m^2=20+m^2+8m+17, 解得 m=-7/2;
③ DM是斜边，20+9+m^2=m^2+8m+17, 解得 m=3/2.
则 M(0,-1),或 M(0,-3), 或 M(0.-7/2), 或 M(0,3/2)。

Answer 2

答：（1）抛物线y=ax^2+bx+c经过三点A(-3,0)，B(1,0)，C(0，-3)显然，点A和点B是抛物线的零点，对称轴x=(-3+1)/2=-1点C是抛物线与y轴的交点y=m(x+1)^2-n点A（-3,0）、C（0，-3）代入得：4m-n=0m-n=-3解得：m=1，n=4所以：y=(x+1)^2-4=x^2+2x-3所以：抛物线的解析式为y=x^2+2x-3
(2)设点P（x，x^2+2x-3），-3<x<0直线AC为y=-x-3，即x+y+3=0点P到AC的距离d=|x+x^2+2x-3+3|/√(1^2+1^2)=|x^2+3x|/√2=-(x^2+3x)/√2AC=3√2S=-3√2*(x^2+3x)/√2/2=-6(x^2+3x)当且仅当x=-3/2时取得最大值S=27/2此时点P为（-3/2，-15/4)
3）点M（0，m），点D（-1，-4）有三种情况：AD⊥DM、AD⊥AM、AM⊥DM两直线垂直时，斜率乘积为-1.点M为（0，-7/2）或者（0，3/2）或者（0，-1）或者（0，-3）具体请楼主自己计算吧</a>