Question

已知抛物线y=ax^2+bx+c经过点A(-3,0)，B(1,0)，C(0，-3)。

（1）求抛物线的解析式 （2）若点P为第三象限内抛物上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标 （3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？请写出M的坐标。详细步骤！！！ 急急急急急急！！！！！！！！！
自己画图，我这儿没图。过了今晚，各位就不用写了！

Answer 1

答：

（1）抛物线y=ax^2+bx+c经过三点A(-3,0)，B(1,0)，C(0，-3)

显然，点A和点B是抛物线的零点，对称轴x=(-3+1)/2=-1

点C是抛物线与y轴的交点

y=m(x+1)^2-n

点A（-3,0）、C（0，-3）代入得：

4m-n=0

m-n=-3

解得：m=1，n=4

所以：y=(x+1)^2-4=x^2+2x-3

所以：抛物线的解析式为y=x^2+2x-3

(2)

设点P（x，x^2+2x-3），-3<x<0

直线AC为y=-x-3，即x+y+3=0

点P到AC的距离d=|x+x^2+2x-3+3|/√(1^2+1^2)=|x^2+3x|/√2=-(x^2+3x)/√2

AC=3√2

S=-3√2*(x^2+3x)/√2/2

=-6(x^2+3x)

当且仅当x=-3/2时取得最大值S=27/2

此时点P为（-3/2，-15/4)

3）点M（0，m），点D（-1，-4）

有三种情况：AD⊥DM、AD⊥AM、AM⊥DM

两直线垂直时，斜率乘积为-1.

点M为（0，-7/2）或者（0，3/2）或者（0，-1）或者（0，-3）

具体请楼主自己计算吧