Question

证明:三角形内任意一点与三个顶点的连线之和小于原三角的三边之和。

Answer 1

证明：假设点O为三角形ABC内的任意一点，延长AO交BC于D
在△OBD和△ACD中，有OB<OD+DB，AD<CA+CD，
所以OA+OB<OA+OD+DB=AD+DB<CA+CD+DB=CA+BC
同理，得：
OB+OC<AB+CA
OC+OA<BC+AB
三式相加有，2(OA+OB+OC)<2(AB+BC+CA)
OA+OB+OC<AB+BC+CA

Answer 2

证明：延长AP交BC于D，在△PBD和△ACD中，有PB<PD+DB，AD<CA+CD，所以
PA+PB<PA+PD+DB=AD+DB<CA+CD+DB=CA+BC
同理，得：
PB+PC<AB+CA
PC+PA<BC+AB
三式相加得：
2(PA+PB+PC)<2(AB+BC+CA)
所以：PA+PB+PC<AB+BC+CA；