Question

大一定积分问题

设y=f(x)在x≥0时为连续的非负函数，且f(0)=0，V(t)表示y=f(x)，x=t（＞0）及x轴所围成图形绕直线 x=t旋转一周所成旋转体体积，证明V''(t)=2πf(t)

设平面图形D由x^2+y^2≤2x与y≥x所确定，求D绕直线x=2旋转而成的立体体积V

Answer 1

1。设y=f(x)在x≥0时为连续的非负函数，且f(0)=0，V(t)表示y=f(x)，x=t（＞0）及x轴所围成图形绕直线 x=t旋转一周所成旋转体体积，证明V''(t)=2πf(t)。

证明：在此旋转体上取一半径为(t-x)，厚度为dy的薄园片，此薄圆片的微体积dv=π(t-x)²dy；
故其体积V(t)=【0，f(t)】∫π(t-x)²dy；其中dy=f '(x)dx；y=0时x=0；y=f(t)时x=t；故得：
V(t)=【0，f(t)】∫π(t-x)²dy=【0，t】π∫(t-x)²f '(x)dx
V'(t)=dV/dt=【0，t】π∫2(t-x)f '(x)dx
∴V ''(t)=d²V/dt²=【0，t】π∫2f '(x)dx=【0，t】2π∫df(x)=2π[f(t)-f(0)]=2πf(t).
2。设平面图形D由x²+y²≤2x与y≥x所确定，求D绕直线x=2旋转而成的立体体积V。

解：由x²+y²=2x，得y²=-x²+2x=-(x²-2x)=-[(x-1)²-1]=-(x-1)²+1；(x-1)²=1-y²；x=1±√(1-y²)；
此处应取x=1-√(1-y²)；【根号前为什么要取负号？比如，当y=1/2时，x=1-(√3/2)=0.134<0.5，说明
点抛物线上的点(0.134，1/2)在直线y=x上的点(1/2，1/2)的左边，这才是正确的。】
因此平面图形D是由(0，0)到(1，1)的抛物线段与直线y=x所围成的新月形(弓形)，此弓形绕直线
x=2旋转一周所得的物体是一个介指状的中空的物体，其体积：
V=【0，1】∫π(2-x)²dy - (上底半径为1，下底半径为2，高为1的园台的体积)
=【0，1】π∫(4-4x+x²)dy-(7/3)π
=【0，1】π∫[4-2x-(2x-x²)dy-(7/3)π
=【0，1】π∫[4-2x-y²)dy-(7/3)π
=【0，1】π∫[4-y²-2(1-√(1-y²)]dy-(7/3)π
=【0，1】π∫[2-y²+2√(1-y²)]dy-(7/3)π
=【0，1】π[2∫dy-∫y²dy+2∫√(1-y²)]dy-(7/3)π
=π{2y-y³/3+2[(y/2)√(1-y²)+(1/2)arcsiny]}【0，1】-(7/3)π
=π(2-1/3+π/2)-(7/3)π=π(5/3-π/2)-(7/3)π=(π²/2)-2π/3