Question

一道高中数学几何证明题题

正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D,在球O的同一个大圆上，点P在球面上，且已知正四棱锥的体积为三分之十六，求球O的表面积与体积？
求比较全的过程 谢谢 。

Answer 1

设正四棱锥的边长为a，由已知条件可知，球心O为底面正方形的中心，取AB边的中点为M，连接PO、OM、MP，易知，三角形OPM为直角三角形，因为三角形PAB为等边三角形，边长为a，所以PM=（根号3）a/2，（/为除号，*为乘号），又易知OM=a/2，所以OP=（根号2）a/2，正四棱锥的体积=（1/3）*正方形ABCD的面积*OP的长度=（1/3）*a的平方*（根号2）a/2，由已知条件，体积为三分之十六，可以解得a=2*根号2，所以OP=（根号2）a/2=2，即球的半径为2，剩下的相信你会做了，呵呵！