Question

已知方程x²+y²-2x-4y+m=0 （1）若此方程表示圆，求实数m的取值范围；

（2）在1的条件下设直线x-y-1=0与圆c交于a.b两点是否存在实数m，使得以ab为直径的圆过原点，若存在，求m的值

Answer 1

（1）∵（-2）²+（-4）²-4＞0
∴m＜5
（2）设两点坐标为M(x1,y1), N(x2,y2)
联立两式，分别消去x，y可得两个方程：
5y^2-16y+m+8=0
5x^2-8x+4m-16
因为OM⊥ON
所以，OM、ON的斜率互为负倒数，即x1/y1=-y2/x2，即x1*x2=-y1*y2
由韦达定理，x1*x2=(4m-16)/5, y1*y2=(m+8)/5代入x1*x2=-y1*y2得
(4m-16)/5=-(m+8)/5
解之得m=8/5

Answer 2

提示：先化为远的标准方程。(x^2-2x+1)+(y^2-4y+4)=5+m