Question

求助一道二元函数有条件极值的问题

麻烦给出一下具体步骤

Answer 1

最长 根号2，最短 1

限制条件：x^3+y^3-xy-1=0，x>=0，y>=0

目标函数：x^2+y^2

运用拉格朗日乘数方法

设f(x,y)=x^2+y^2 + k*(x^3+y^3-xy-1)

df/dx=0

df/dy=0

df/dk=0

（d为偏导）

得

2x+3k*x^2-k*y=0

2y+3k*y^2-k*x=0

x^3+y^3-xy-1=0

解起来好像有些困难，不过还是能得到一组解 x=y=1

又 x=0时y=1，y=0时x=1

再联系图像

追问

最短距离是怎么求出来的？只能通过画图像看出来？不能通过拉格朗日乘数法求出来吗？

追答

呵呵，图上直接可看出。也就是与坐标轴相交的两点与原点的距离。
除了这两点，与原点的连线长度为一，其余都大于一

追问

我想问一下这个最小值为什么用拉格朗日乘数法求不出来呢？

追答

可以吧，只是比较费劲

追问

把（1,0）（0,1）代到上面的方程组中 方程组是无解的 我解上面的方程组 x=y=1应该是唯一的一组解 也就是说拉格朗日乘数法是求不出来最小值的 如果不是观察图象 有什么方法可以求出最小值？

Answer 2

追问

如果不是观察图象 有什么方法可以求出最小值？