Question

一道高中数学题，各位高人帮帮忙啊，O(∩_∩)O谢谢了~

两个半径为1的大球O1，O2相外切，且它们都与底面半径为1的圆柱内侧面相切，另一小球O3与大球O1，O2都相外切，且与圆柱内侧面相切。过小球球心O3和大球球心O1的平面与圆柱相交成一个椭圆，则该椭圆离心率的最小值为_________.

答案是4/5

请问为什么 在平面上过O1的与O1O3垂直那条线段是定值(2R=2)，可我觉得应该是 过O1O3与圆柱相交的那条线段是定值

请问这平面到底是怎么截的啊~3Q~~~

Answer 1

e=4/5
因为用勾股定理，及相似三角形可得，最小球O3半径为1/4，
所以可得椭圆长半轴a=5/4，
离心率最小时，短半轴b最小，为1，于是求得e=4/5.

1)问题的“最小”，在于椭圆长轴固定，所以当c最小是即可，而c^2=a^2+b^2，所以b最小即可.
而b最小，即为球O1的球心到球与柱的切点距离，也就是半径，此时刚好满足过O1O3直线的截面与圆柱的“正视图”轴截面垂直的时候。
2）圆柱的截面，是平面与圆柱的交线带来的平面图形。只要不垂直轴线，截面都为椭圆。