Question

用基本不等式求函数2x/(x2十1)的最大值。

Answer 1

由题可知，此函数定义域为R。当x小于0时，函数值为负，大于0时函数值为正，等于0时函数值为0。故对于这个函数而言，最大值在x大于0的范围取。
当x大于0时，对于函数2x/(x2十1)，它取到最大值代表函数(x2十1)/2x取到最小值。(x2十1)/2x=x/2十1/2x大等于2根号x/2 x 1/2x=2根号1/4=1。故x大于0时，(x2十1)/2x的最小值是1，那么函数2x/(x2十1)的最大值是1/1=1。
望采纳，谢谢。不懂可追问。

追答

其实还有另一种算法：由于当x大于0时取最大值，那么将函数分子分母同除以2x得等价函数1/(x/2十1/2x)，x/2十1/2x大等于2根号x/2 x 1/2x=2根号1/4=1。所以x大于0时等效函数分母最小值为1，那么这个函数的最大值就是1。

Answer 2

追答

注意恒等变换，定义域和基本不等式的应用。

Answer 3

(x-1)^2≥0
x^2-2x+1≥0
x^2+1≥2x
1≥2x/(x^2+1)
最大值为1

Answer 4