Question

如何判断分段函数的奇偶性,已知函数f(x)=[x2+2x+3,x<0 -x2+2x-3,x>0],判断f(x)的奇偶性

Answer 1

解设x＜0，
则-x＞0
则由题知f(-x)=-(-x)^2+2(-x)-3=-x^2-2x-3=-(x^2+2x+3)=-f（x）
即f(-x）=-f(x)
知函数f(x)是奇函数。

追问

f(-x)是x2+2x+3的还是-x2+2x-3的

追答

注意由
x＜0，
则-x＞0
即-x是正数，
那么f(-x)的表达式应该按当x＞0时，f(x)=-x2+2x-3走
即应该把-x代入x＞0时，f(x)=-x2+2x-3的表达式
即此时f(-x)=-(-x)^2+2(-x)-3

追问

那么这个带有等号的怎么解啊 -x+x(x＞0) x²+x(x≤0)

追答

解首先x=0时f（0）=0^2+0=0
再设x＜0
则-x＞0
f(-x)=-（-x)^2+(-x）=-x^2-x=-（x^2+x）=-f(x）
即f(-x）=-f(x)
知函数f(x)是奇函数。

追问

为什么要把x=0算出来，如果不算不会有什么后果吗？？

追答

因为函数定义域x≤0与x＞0中，的定义域不关于原点对称，
故把x=0单独列出，
然后x＞0，就可以转化为-x＜0.

追问

不关于圆点对称不是非奇非偶吗，详细一点，拜托，我基础差

追答

是的函数的定义域不关于原点对称，该函数就不是奇函数也不是偶函数。