Question

若实数x满足k-1/2<x<k+1/2(k∈Z),则称k是最接近于x的整数，记作[x]-k.

(1)若[2^x+2^-x]=2，求x的取值范围.
(2)若数列｛an｝的通项公式是an=[根号下n*（n+1)]，求数列｛an｝的前n项和Sn;
（3)已知数列｛bn｝对任意正整数n满足3b(n+1) +bn=1200,b1=10000,求lim[bn]

Answer 1

k-1/2<x<k+1/2(k∈Z),
<==>-1/2<x-k<1/2,<==>[x]=k(改题了).
(1)[2^x+2^(-x)]=2,
<==>-1/2<2^x+2^(-x)-2<1/2,
2^x+2^(-x)-2=[2^(x/2)-2^(-x/2)]^2,
∴-1/√2<2^(x/2)-2^(-x/2)<1/√2，
设y=2^(x/2)>0,上式变为-1/√2<y-1/y<1/√2，
化为不等式组：
y^2+y/√2-1>0，
y^2-y/√2-1<0,
解得（√6-√2)/4<y<(√6+√2)/4,
∴（√6-√2)/4<2^(x/2)<(√6+√2)/4,
取以2为底的对数，得log<2>(√6-√2)-2<x/2<log<2>(√6+√2)-2,
各乘以2，得2log<2>(√6-√2)-4<x<2log<2>(√6+√2)-4.
(2)-1/2<√[n(n+1)]-an<1/2,
无法求Sn.
(3)3b<n+1> +bn=1200,
∴b<n+1>-600=(1/3)(bn-600),
∴bn-600=(1/3)^(n-1)*(b1-600)=9400/3^(n-1)→0，(n→∞),
∴bn→600.
∴[bn]→600.