Question

已知函数f（x）和g（x）的定义域均为R，f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且g（x）的图象过点（-1，3），

已知函数f（x）和g（x）的定义域均为R，f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且g（x）的图象过点（-1，3），g（x）=f（x-1），则f（2012）+g（2013）=______．

Answer 1

∵g（x）=f（x-1），g（x）是奇函数，
∴g（-x）=-g（x），
即f（-x-1）=-f（x-1），
又f（x）是偶函数，
∴f（-x-1）=-f（x-1）=f（x+1），
即f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=f（x），即函数f（x）的周期性为4，
∴f（2012）=f（0），
∵g（x）=f（x-1），
∴g（2013）=f（2013-1）=f（2012）=f（0），
∴f（2012）+g（2013）=2f（0），
∵g（x）的图象过点（-1，3），得g（-1）=3，
又g（-1）=-g（1）=3，
∴g（1）=-3，
又g（1）=f（0），
∴f（0）=g（1）=-3，
∴f（2012）+g（2013）=2f（0）=-6．
故答案为：-6．