Question

（2014?南漳县模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（-1，0），B（-2，0），C（0，-2），

（2014?南漳县模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（-1，0），B（-2，0），C（0，-2），直线x=m（m＜-2）与x轴交于点D．（1）求二次函数的解析式；（2）在直线x=m（m＜-2）上有一点E（点E在第二象限），使得以E、B、D为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵y=ax²+bx+c的图象经过点A（-1，0），B（-2，0），C（0，-2），
∴

a?b+c＝0 4a?2b+c＝0 c＝?2

，
解得

a＝?1 b＝?3 c＝?2

，
∴二次函数的解析式为y=-x²-3x-2；

（2）∵A（-1，0），C（0，-2），
∴OA=1，OC=2，
∵直线x=m（m＜-2）与x轴交于点D，
∴BD=-2-m，
∵以E、B、D为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，
∴

DE

OA

=

BD

OC

或

DE

OC

=

BD

OA

，
即

DE

1

=

?2?m

2

或

DE

2

=

?2?m

1

，
解得DE=-1-

1

2

m或DE=-4-4m，
∵点E在第二象限，
∴点E₁（m，-4-4m），E₂（m，-1-

1

2

m）；

（3）∵A（-1，0），B（-2，0），
∴AB=-1-（-2）=-1+2=1，
∵四边形ABEF为平行四边形，
∴EF=AB=1，
∴点F的横坐标为m+1，
∴点F的坐标为（m+1，-4-2m），（m+1，-1-

1

2

m），
①若点F为（m+1，-4-2m），∵点F在抛物线y=-x²-3x-2上，
∴-（m+1）²-3（m+1）-2=-4-2m，
整理得，m²+3m+2=0，
解得m₁=-1，m₂=-2，
∵m＜2，
∴都不符合，
②若点F为（m+1，-1-

1

2

m），∵点F在抛物线y=-x²-3x-2上，
∴-（m+1）²-3（m+1）-2=-1-

1

2

m，
整理得，2m²+9m+10=0，
解得m₁=-

5

2

，m₂=-2，
∵m＜2，
∴m=-

5

2

，
此时，m+1=-

5

2

+1=-

3

2

，
-1-

1

2

m=-1-

1

2

×（-

5

2

）=

1

4

，
点F的坐标为（-

3

2

，

1

4

），
∴四边形ABEF的面积为1×

1

4

=

1

4

，
故，抛物线上存在点F（-

3

2

，

1

4

），使四边形ABEF的面积为

1

4

．