Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），且当0≤x≤1时，f（x）=x（1-x）；（1）求当-1≤x≤0时，f

定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），且当0≤x≤1时，f（x）=x（1-x）；（1）求当-1≤x≤0时，f（x）的解析式．（2）求f（x）在[-1，1]上的单调区间和最大值．

Answer 1

解（1）令x∈[-1，0]，则x+1∈[0，1]…（1分）
由已知，得f(x)＝

1

2

f(x+1)＝

1

2

(x+1)[1?(x+1)]＝?

1

2

x(x+1)（-1≤x≤0）．…（4分）
（2）由（1）知，当0≤x≤1时，f(x)＝?(x?

1

2

)2+

1

4

，…（5分）
则f（x）在[0，

1

2

]上单调递增，在[

1

2

，1]上单调递减；…（6分）
当-1≤x≤0时，f(x)＝?

1

2

(x+

1

2

)2+

1

8

，…（7分）
则f（x）在[?1，?

1

2

]上单调递增，在[?

1

2

，0]上单调递减；…（8分）
故f（x）在[-1，1]上的单调递增区间为[?1，?

1

2

]和[0，

1

2

]，
单调递减区间为[?

1

2

，0]和[

1

2

，1]；…（9分）
由f（x）在[-1，1]上的单调性知，f（x）在[-1，1]上的最大值为max{f(?

1

2

)，f(

1

2

)}；…（11分）
又f(?

1

2

)＝

1

8

，f(

1

2

)＝

1

4

，因此，f（x）在[-1，1]上的最大值为

1

4

．…（13分）