Question

如图，已知矩形ABCD中，AB=4cm，AD=10cm，点P在边BC上移动，点E、F、G、 H分别是AB、AP、DP、DC的中点．

如图，已知矩形ABCD中，AB=4cm，AD=10cm，点P在边BC上移动，点E、F、G、 H分别是AB、AP、DP、DC的中点．（1）求证：EF+GH=5cm；（2）求当∠APD=90°时， EF GH 的值．

Answer 1

（1）证明：∵矩形ABCD，AD=10cm， ∴BC=AD=10cm． ∵E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点， ∴EF+GH= 1 2 BP+ 1 2 PC= 1 2 BC． ∴EF+GH=5cm． （2）∵矩形ABCD， ∴∠B=∠C=90°， 又∵∠APD=90°， 在直角△APD中，AD 2 =AP 2 +DP 2 ， 同理，AP 2 =AB 2 +BP 2 ，PD 2 =PC 2 +CD 2 =PC 2 +AB 2 ， ∴AD 2 =AP 2 +DP 2 =AB 2 +BP 2 +PC 2 +DC 2 =BP 2 +（BC-BP） 2 +2AB 2 =BP 2 +（10-BP） 2 +32， 即100=2BP 2 -20BP+100+32， 解得BP=2或8（cm）， 当BP=2时，PC=8，EF=1，GH=4，这时 EF GH = 1 4 ， 当BP=8时，PC=2，EF=4，GH=1，这时 EF GH =4 ， ∴ EF GH 的值为 1 4 或4．