Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且S n =2a n +n-4（n∈N * ）（1）求证：数列{a n -1}为等比数列，并求

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且S n =2a n +n-4（n∈N * ）（1）求证：数列{a n -1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）设c n =a n log 2 （a n -1），求数列{c n }的前n项和为T n ．

Answer 1

（1）∵S n =2a n +n-4，∴S n-1 =2a n-1 +（n-1）-4 ∴a n =2a n -2a n-1 +1，从而a n =2a n-1 -1即a n -1=2（a n-1 -1） ∴数列{a n -1}为等比数列 又a 1 =S 1 =2a 1 -3，故a 1 =3 因此 a n -1=( a 1 -1)× 2 n-1 = 2 n ∴ a n = 2 n +1 （2）由（1）可得 C n =( 2 n +1)n=n? 2 n +n 记 A n =1×2+2× 2 2 +3× 2 3 +…+n? 2 n ∴ 2 A n =1× 2 2 +2× 2 3 +…+(n-1)? 2 n +n? 2 n+1 两式相减可得： - A n =2+ 2 2 + 2 3 +…+ 2 n -n? 2 n+1 = 2(1- 2 n ) 1-2 -n? 2 n+1 =-2+(1-n)? 2 n+1 ∴ A n =(n-1)? 2 n+1 +2 ∴ T n =(n-1)? 2 n+1 +2+ n(n+1) 2