Question

已知椭圆C: + =1(a>b>0)的一个顶点A(2,0),离心率为 ,直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.(1)

已知椭圆C: + =1(a>b>0)的一个顶点A(2,0),离心率为 ,直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.(1)求椭圆C的方程.(2)当△AMN的面积为 时,求k的值.

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Answer 1

(1) + =1    (2) k=±1

(1)a=2,e= = ,c= ,b= , 椭圆C: + =1. (2)设M(x 1 ,y 1 ),N(x 2 ,y 2 ),则由 ,消y得 (1+2k 2 )x 2 -4k 2 x+2k 2 -4=0, ∵直线y=k(x-1)过椭圆内点(1,0), ∴Δ>0恒成立, 由根与系数的关系得 x 1 +x 2 = ,x 1 x 2 = , S △AMN = ×1×|y 1 -y 2 |= ×|kx 1 -kx 2 | = = = . 即7k 4 -2k 2 -5=0,解得k=±1.