Question

设 ?Ωz3ln(x2+y2+z2+3)x2+y2+z2+3dxdydz=______，其中Ω由x2+y2+z2=1围成

设 ?Ωz3ln(x2+y2+z2+3)x2+y2+z2+3dxdydz=______，其中Ω由x2+y2+z2=1围成．

Answer 1

由于被积函数

z3ln(x2+y2+z2+3)

x2+y2+z2+3

是关于z的奇函数，而积分的立体区域Ω又是关于xoy面对称的，
因此根据三重积分的对称性原理，可以得到

? Ω

z3ln(x2+y2+z2+3)

x2+y2+z2+3

dxdydz=0