Question

已知函数f（x）=ax2-2ax+2+b（a＞0），若f（x）在区间[2，3]上有最大值5，最小值2．（1）判断f（x）在区

已知函数f（x）=ax2-2ax+2+b（a＞0），若f（x）在区间[2，3]上有最大值5，最小值2．（1）判断f（x）在区间[2，3]上的单调性；（2）求函数f（x）的解析式；（3）若g（x）=f（x）-mx在[2，4]上是单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

（1）由f（x）=a（x-1）²+2+b-a，（a＞0）可知，
f（x）的图象开口向上，对称轴x=1，故函数f（x）在区间[2，3]单调递增，…（3分）
（2）根据函数f（x）在区间[2，3]单调递增，函数的最大值5，最小值2，可得

f(2)＝2 f(3)＝5

，
即

2+b＝2 3a+2+b＝5

，解得：a=1，b=0，…（7分）
故函数f（x）的解析式为f（x）=x²-2x+2．…（8分）
（3）由于函数g（x）=x²-（2+m）x+2在[2，4]上是单调函数，
而函数g（x）=x²-（2+m）x+2的对称轴为 x=-

?(2+m)

2

=1+

m

2

，
故只需1+

m

2

≤2，或1+

m

2

≥4，求得m≤2，或m≥6，
故m的范围为（-∞，2]∪[6，+∞）．…（14分）