Question

如图1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB=∠AED=90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE．

如图1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB=∠AED=90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE．（1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；（2）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．

Answer 1

（1）如图1，连接CF，线段CE与FE之间的数量关系是CE= 2 FE； （2）（1）中的结论仍然成立． 如图2，连接CF，延长EF交CB于点G， ∵∠ACB=∠AED=90°， ∴DE ∥ BC， ∴∠EDF=∠GBF， 又∵∠EFD=∠GFB，DF=BF， ∴△EDF≌△GBF， ∴EF=GF，BG=DE=AE， ∵AC=BC， ∴CE=CG， ∴∠EFC=90°，CF=EF， ∴△CEF为等腰直角三角形， ∴∠CEF=45度， ∴CE= 2 FE； （3）（1）中的结论仍然成立． 如图3，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF， ∵DF=BF， ∴FM ∥ AB，且FM= 1 2 AB ， ∵AE=DE，∠AED=90°， ∴AM=EM，∠AME=90°， ∵CA=CB，∠ACB=90° ∴ CN=AN= 1 2 AB ，∠ANC=90°， ∴MF ∥ AN，FM=AN=CN， ∴四边形MFNA为平行四边形， ∴FN=AM=EM，∠AMF=∠FNA， ∴∠EMF=∠FNC， ∴△EMF≌△FNC， ∴FE=CF，∠EFM=∠FCN， 由MF ∥ AN，∠ANC=90°，可得∠CPF=90°， ∴∠FCN+∠PFC=90°， ∴∠EFM+∠PFC=90°， ∴∠EFC=90°， ∴△CEF为等腰直角三角形， ∴∠CEF=45°， ∴CE= 2 FE．