Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB ∥ CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．（1）求证：AD=AE；（2）若AD=8，DC=4，求

如图，在直角梯形ABCD中，AB ∥ CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．（1）求证：AD=AE；（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．

Answer 1

（1）证明：连接AC， ∵AB ∥ CD， ∴∠ACD=∠BAC， ∵AB=BC， ∴∠ACB=∠BAC， ∴∠ACD=∠ACB， ∵AD⊥DC，AE⊥BC， ∴∠D=∠AEC=90°， ∵AC=AC， ∴ ∠D=∠AEC ∠DCA=∠ACB AC=AC ， ∴△ADC≌△AEC，（AAS） ∴AD=AE； （2）由（1）知：AD=AE，DC=EC， 设AB=x，则BE=x-4，AE=8， 在Rt△ABE中∠AEB=90°， 由勾股定理得：8 2 +（x-4） 2 =x 2 ， 解得：x=10， ∴AB=10． 说明：依据此评分标准，其它方法如：过点C作CF⊥AB用来证明和计算均可得分．