Question

已知函数f（x）=loga（1+x），g（x）=loga（1-x），（a＞0，且a≠1）．（1）求函数f（x）-g（x）的定义域

已知函数f（x）=loga（1+x），g（x）=loga（1-x），（a＞0，且a≠1）．（1）求函数f（x）-g（x）的定义域；（2）判断函数f（x）-g（x）的奇偶性；（3）求使f（x）-g（x）＞0的x的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x），（a＞0，且a≠1）．
∴f（x）-g（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x），（a＞0，且a≠1）．
要使函数f（x）-g（x）有意义，则

1+x＞0 1?x＞0

，解得-1＜x＜1，
即函数f（x）-g（x）的定义域为（-1，1）．
（2）∵f（x）-g（x）的定义域为（-1，1），关于原点对称，
∴设F（x）=f（x）-g（x），则F（-x）=f（-x）-g（-x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）=-[log_a（1+x）-log_a（1-x）]=-F（x），
∴f（x）-g（x）为奇函数．
（3）由f（x）-g（x）＞0得f（x）＞g（x），
即log_a（1+x）＞log_a（1-x），
若a＞1，则

?1＜x＜1 1+x＞1?x

，即

?1＜x＜1 x＞0

，解得0＜x＜1．
若0＜a＜1，则

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