Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，线段CD=10，连接BD（1

如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，线段CD=10，连接BD（1）求证：∠CDE=2∠B（2）若BD：AB= ：2，求⊙O的半径及弦DF的长

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Answer 1

（1）证明：连接OD． ∵直线CD与⊙O相切于点D， ∴OD⊥CD，∠CDO=90°，∠CDE+∠ODE=90°． 又∵DF⊥AB，∴∠DEO=∠DEC=90°． ∴∠EOD+∠ODE=90°， ∴∠CDE=∠EOD．  又∵∠EOD=2∠B， ∴∠CDE=2∠B． （2）解：连接AD． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°． ∵BD：AB= ：2， ∴在Rt△ADB中cosB= ， ∴∠B=30°．  ∴∠AOD=2∠B=60°． 又∵∠CDO=90°， ∴∠C=30°．  在Rt△CDO中，CD=10， ∴OD=10tan30°= ， 即⊙O的半径为 ．  在Rt△CDE中，CD=10，∠C=30°， ∴DE=CDsin30°=5．  ∵DF⊥AB于点E， ∴DE=EF= DF． ∴DF=2DE=10．

（1）连接OD，根据弦切角定理得∠CDE=∠EOD，再由同弧所对的圆心角是圆周 角的2倍，可得∠CDE=2∠B； （2）连接AD，根据三角函数，求得∠B=30°，则∠EOD=60°，推得∠C=30°，根据∠C的正切值，求出圆的半径，再在Rt△CDE中，利用∠C的正弦值，求得DE，从而得出DF的长．