Question

设函数 f ( x )＝ln x ＋ x 2 －( a ＋1) x ( a >0， a 为常数)．(1)讨论 f ( x )的单调性；(2)若

设函数 f ( x )＝ln x ＋ x 2 －( a ＋1) x ( a >0， a 为常数)．(1)讨论 f ( x )的单调性；(2)若 a ＝1，证明：当 x >1时， f ( x )< x 2 － － .

Answer 1

(1) 在 ，(1，＋∞)上单调递增，在 上单调递减(2)见解析

(1) f ( x )的定义域为(0，＋∞)， f ′( x )＝ ＋ ax －( a ＋1)＝ . 当0< a <1时，由 f ′( x )>0解得0< x <1或 x > ，由 f ′( x )<0解得1< x < ， 所以函数 f ( x )在(0，1)， 上单调递增，在 上单调递减． 当 a ＝1时， f ′( x )≥0对 x >0恒成立，所以函数 f ( x )在(0，＋∞)上单调递增． 当 a >1时，由 f ′( x )>0解得 x >1或0< x < ，由 f ′( x )<0解得 < x <1. 所以函数 f ( x )在 ，(1，＋∞)上单调递增，在 上单调递减． (2)证明：当 a ＝1时，原不等式等价于ln x －2 x ＋ ＋ <0. 因为 x >1，所以 ＝ < ， 因此ln x －2 x ＋ ＋ <ln x －2 x ＋ ＋ . 令 g ( x )＝ln x －2 x ＋ ＋ ， 则 g ′( x )＝ . 令 h ( x )＝ ，当 x >1时， h ′( x )＝－ x 2 －4 x ＋ <0， 所以 h ( x )在(1，＋∞)上单调递减，从而 h ( x )< h (1)＝0，即 g ′( x )<0， 所以 g ( x )在(1，＋∞)上单调递减，则 g ( x )< g (1)＝0， 所以当 x >1时， f ( x )< x 2 － － .