Question

设M是由满足下列两个条件的函数f（x）构成的集合：（1）方程f（x）-1=0有实数解；（2）函数f（x）的导数f

设M是由满足下列两个条件的函数f（x）构成的集合：（1）方程f（x）-1=0有实数解；（2）函数f（x）的导数f'（x）满足0＜f'（x）＜2，给出如下函数：①f（x）=x+sinx；②f(x)＝x+tanx，x∈(?π2，π2)；③f（x）=x+log3x，x∈[1，+∞）；④f（x）=x+2x．其中是集合M中的元素的有______．（只需填写函数的序号）

Answer 1

①∵f（x）=x+sinx，∴由f（x）-1=0，得x-1+sinx=0
分别做出函数y=x-1和y=sinx的图象知，二者有一个交点，
∴方程f（x）-1=0有实数解．即条件（1）成立．
∵f'（x）=1-cosx，-1≤cosx≤1，
∴0≤f（x）≤2，即条件（2）不成立．
故①不是集合M中的元素．
②∵f(x)＝x+tanx，x∈(?

π

2

，

π

2

)，
∴由f（x）-1=0，得x+tanx-1=0，
分别做出函数y=x-1和y=tanx的图象知，二者有一个交点，
∴方程f（x）-1=0有实数解．即条件（1）成立．
∵f'（x）=1+

1

cos2x

，∴条件（2）不成立．
故②不是集合M中的元素．
③∵f（x）=x+log₃x，x∈[1，+∞），
∴由f（x）-1=0，得x+log₃x-1=0，
分别做出函数y=x-1和y=log₃x的图象知，二者有两个交点，
∴方程f（x）-1=0有实数解．即条件（1）成立．
∵f′(x)＝1+

1

xln3

，∴条件（2）成立．
故③是集合M中的元素．
④∵f（x）=x+2^x．∴由f（x）-1=0，得x+2^x-1=0，
分别做出函数y=x-1和y=2^x的图象知，二者有一个交点，
∴方程f（x）-1=0有实数解．即条件（1）成立．
∵f'（x）=1+2^xln2，∴条件（2）不成立．
故④不是集合M中的元素．
故答案为③．